二次函数的图像与性质

文 / 吴文中

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一、列举4组典型二次函数的图像

1、y=ax2型,如:典型二次函数01。查看:图像

2、y=ax2+c型,如:典型二次函数图像02。查看:图像

3、y=a(x-h)2型,如:典型二次函数图像03。查看:图像

4、y=a(x-h)2+k型,如:典型二次函数图像04。查看:图像

二、y=ax2型的图像性质

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a > 0 向上 (0,0) y轴 x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值。如:y=2x2
a < 0 向下 (0,0) y轴 x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大;x=0时,y有最大值。如:y=-2x2

注意:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。如:y=5x2、y=4x2、y=3x2、y=x2

三、y=ax2+c型的图像性质

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a>0 向上 (0,c) y轴 x>h时,y随x的增大而增大;x<h时,y随x的增大而减小;y=c时,y有最小值c。如:y=2x2+2
a<0 向下 (0,c) y轴 x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大;y=c时,y有最大值c。如:y=-2x2+2

注意:这一型的二次函数形式,揭示了函数图像的“上加下减”的规律。如:y=2x2+2、y=2x2-2

四、y=a(x-h)2型的图像性质

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a > 0 向上 (h,0) x=h x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小;x=h时,y有最小值0。如:y=2(x-3)2
a < 0 向下 (h,0) x=h x>h时,y随x的增大而减小;x<h时,y随x的增大而增大;x=h时,y有最大值0。如:y=-2(x+5)2

注意:这一型的二次函数形式,揭示了函数图像的“左加右减”的规律。如:y=2(x-1)2、y=2(x+1)2、y=2(x+2)2

五、y=a(x-h)2+k型的图像性质

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a > 0 向上 (h,k) x=h x>h时,y随x的增大而增大;x<h时,y随x的增大而减小;x=h时,y有最小值k。如:y=2(x-4)2+3
a < 0 向下 (h,k) x=h x>h时,y随x的增大而减小;x<h时,y随x的增大而增大;x=h时,y有最大值k。如:y=-2(x-4)2+3

六、二次函数图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c(如:y=2x2-4x+5)化为顶点式y=a(x-h)2+k(如:y=2(x-1)2+3),确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2h,c)、与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)。

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点。

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),如:y=2x2+3x+4

2. 顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0),如:y=2(x-5)2+3

3. 两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标),如:y=2(x-1)(x+3).

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b2-4ac≥0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化。

八、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较

从解析式上看,y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即二次函数的顶点式,其中二次函数的顶点坐标。比如说:y=2(x-1)2+3y=2x2-4x+5

九、二次函数y=ax2+bx+c的性质

1. 当a>0时,抛物线开口向上,对称轴为二次函数的对称轴,顶点坐标为二次函数的顶点坐标

小于对称轴部分时,y随x的增大而减小;当大于对称轴部分时,y随x的增大而增大;当二次函数的对称轴时,y有最小值二次函数的最值

2. 当a<0时,抛物线开口向下,对称轴为二次函数的对称轴,顶点坐标为二次函数的顶点坐标

小于对称轴部分时,y随x的增大而增大;当大于对称轴部分时,y随x的增大而减小;当二次函数的对称轴时,y有最大值二次函数的最值

十、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数a,二次函数y=ax2+bx+c中,a作为二次项系数,显然a≠0。

⑴ 当a>0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之,a的值越小,开口越大;比如:y=3x2+5x-9和y=x2+5x-9

⑵ 当a<0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之,a的值越大,开口越大。比如:y=-3x2+5x-9和y=-x2+5x-9

总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.

2. 一次项系数b,在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴。

⑴ 在a>0的前提下,

当b>0时,对称轴左侧,即抛物线的对称轴在y轴左侧;

当b=0时,对称轴,即抛物线的对称轴就是y轴;

当b<0时,对称轴左侧,即抛物线对称轴在y轴的右侧.

⑵ 在a<0的前提下,结论刚好与上述相反,即

当b>0时,对称轴左侧,即抛物线的对称轴在y轴右侧;

当b=0时,对称轴,即抛物线的对称轴就是y轴;

当b<0时,对称轴左侧,即抛物线对称轴在y轴的左侧。

总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置。

ab的符号的判定:对称轴二次函数的对称轴在y轴左边则ab>0,在y轴的右侧则ab<0,概括的说就是“左同右异”。

3. 常数项c

⑴ 当c>0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;

⑵ 当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;

⑶ 当c<0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负。

总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.

总之,只要a、b、c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的

十一、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x轴对称

y=ax2+bx+c关于x轴对称后,得到的解析式是y=-ax2-bx-c;

y=a(x-h)2+k关于x轴对称后,得到的解析式是y=-a(x-h)2-k;

2. 关于y轴对称

y=ax2+bx+c关于y轴对称后,得到的解析式是y=ax2-bx+c;

y=a(x-h)2+k关于y轴对称后,得到的解析式是y=a(x+h)2+k;

3. 关于原点对称

y=ax2+bx+c关于原点对称后,得到的解析式是y=-ax2+bx-c;

y=a(x-h)2+k关于原点对称后,得到的解析式是y=-a(x+h)2-k;

4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)

y=ax2+bx+c关于顶点对称后,得到的解析式是y=-ax2-bx+c-(b2/2a);

y=a(x-h)2+k关于顶点对称后,得到的解析式是y=-a(x-h)2-k

5. 关于点(m,n)对称

y=a(x-h)2+k关于点(m,n)对称后,得到的解析式是y=-a(x+h-2m)2+2n-k

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此|a|永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

十二、二次函数图象的平移

1. 平移步骤:

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标(h,k);

⑵ 保持抛物线y=ax2的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下:

二次函数的平移规律

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”。概括成八个字“左加右减,上加下减”。

也可以这样说:

⑴y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,y=ax2+bx+c变成y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m)

⑵y=ax2+bx+c沿轴平移:向左(右)平移m个单位,y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c(或y=a(x-m)2+b(x-m)+c)

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作者背景
☆广东数学名师