二次函数的图像与性质
文 吴文忠
一、列举4组典型二次函数的图像
1、y=ax2型，如：
。查看：图像
2、y=ax2+c型，如：
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3、y=a(x-h)2型，如：
。查看：图像
4、y=a(x-h)2+k型，如：
。查看：图像
二、y=ax2型的图像性质
| a的符号 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 性质 |
| a > 0 | 向上 | (0,0) | y轴 | x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值。如：y=2x2 |
| a < 0 | 向下 | (0,0) | y轴 | x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值。如：y=-2x2 |
注意：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。如：y=5x2、y=4x2、y=3x2、y=x2
三、y=ax2+c型的图像性质
| a的符号 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 性质 |
| a>0 | 向上 | (0,c) | y轴 | x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；y=c时，y有最小值c。如：y=2x2+2 |
| a<0 | 向下 | (0,c) | y轴 | x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；y=c时，y有最大值c。如：y=-2x2+2 |
注意：这一型的二次函数形式，揭示了函数图像的“上加下减”的规律。如：y=2x2+2、y=2x2-2
四、y=a(x-h)2型的图像性质
| a的符号 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 性质 |
| a > 0 | 向上 | (h,0) | x=h | x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0。如：y=2(x-3)2 |
| a < 0 | 向下 | (h,0) | x=h | x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0。如：y=-2(x+5)2 |
注意：这一型的二次函数形式，揭示了函数图像的“左加右减”的规律。如：y=2(x-1)2、y=2(x+1)2、y=2(x+2)2
五、y=a(x-h)2+k型的图像性质
| a的符号 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 性质 |
| a > 0 | 向上 | (h,k) | x=h | x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k。如：y=2(x-4)2+3 |
| a < 0 | 向下 | (h,k) | x=h | x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k。如：y=-2(x-4)2+3 |
六、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c（如：y=2x2-4x+5）化为顶点式y=a(x-h)2+k（如：y=2(x-1)2+3），确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2h,c)、与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点。
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），如：y=2x2+3x+4；
2. 顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k为常数，a≠0），如：y=2(x-5)2+3；
3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标），如：y=2(x-1)(x+3).
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。
八、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较
从解析式上看，y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
，其中
。比如说：y=2(x-1)2+3和y=2x2-4x+5
九、二次函数y=ax2+bx+c的性质
1. 当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为
，顶点坐标为
。
当
时，y随x的增大而减小；当
时，y随x的增大而增大；当
时，y有最小值
。
2. 当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为。
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当时，y有最大值。
十、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a，二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0。
⑴ 当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之，a的值越小，开口越大；比如：y=3x2+5x-9和y=x2+5x-9
⑵ 当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之，a的值越大，开口越大。比如：y=-3x2+5x-9和y=-x2+5x-9
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数b，在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴。
⑴ 在a>0的前提下，
当b>0时，
，即抛物线的对称轴在y轴左侧；
当b=0时，
，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b<0时，
，即抛物线对称轴在y轴的右侧．
⑵ 在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b>0时，，即抛物线的对称轴在y轴右侧；
当b=0时，，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b<0时，，即抛物线对称轴在y轴的左侧。
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置。
ab的符号的判定：对称轴在y轴左边则ab>0，在y轴的右侧则ab<0，概括的说就是“左同右异”。
3. 常数项c
⑴ 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶ 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负。
总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
总之，只要a、b、c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的
十一、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x轴对称
y=ax2+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c；
y=a(x-h)2+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2-k；
2. 关于y轴对称
y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；
y=a(x-h)2+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k；
3. 关于原点对称
y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c；
y=a(x-h)2+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+h)2-k；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
y=ax2+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx+c-(b2/2a)；
y=a(x-h)2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2-k
5. 关于点(m,n)对称
y=a(x-h)2+k关于点(m,n)对称后，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)2+2n-k
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十二、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标（h,k）；
⑵ 保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”。概括成八个字“左加右减，上加下减”。
也可以这样说：
⑴y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m）
⑵y=ax2+bx+c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)2+b(x-m)+c）
