幂函数图像
文 \ 吴文忠
一、举例说明：
我们以高中数学中非常典型的5个幂函数作为例子开始，它们是：f(x)=x、f(x)=x2、f(x)=x3、f(x)=x-1、f(x)=x1/2。使用【在线函数图像生成器】绘制，我们立马可以得到这5个典型的幂函数图像，图像如下图：（←点击链接←，还可在此基础上随意调整函数图像）
从上面5个典型的幂函数的图像，同学们，或许已经发现一些端倪了。没错，幂函数的图像具有一般性规律，幂函数图像一定遵循下面5点规律：
①任何幂函数图象一定经过第一象限；
②任何幂函数图像一定不经过第四象限；
③幂函数的图像可能经过第二象限、第三象限，这取决于这个幂函数的奇偶性；当幂函数为奇函数时，那么这个幂函数的图像经过第三象限，eg：f(x)=x3的图像；当幂函数为偶函数时，那么这个幂函数的图像经过经过第四象限，eg：f(x)=x2的图像；
④任何幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；
⑤假如幂函数的图象与坐标轴相交，那么这个交点一定是原点。
二、幂函数：
幂函数是指形如y=xα(α为实数）的函数，其中x称为底数，也是幂函数的自变量，α称为指数。幂函数是一个函数种类，并且是一个非常重要的函数种类。幂函数在高考数学中有很大份量，在高等数学中有很大份量，在工业化应用中有很大份量；幂函数包含了数量丰富的各种函数，衍生出去，衔接了个数不菲的常用函数，譬如：一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、根式函数、立方函数.. ...那么，幂函数的性质、规律、图像以及应用，自然而然就成为数学中一个非常吸引人的话题。
幂函数图像是性质好的反映，是规律好的呈现，是应用好的助手；同时，也是本文最重要的主题词，接下来，我们就从另外一个侧面来阐释它、演绎它。当然，关于幂函数其它的东西以及一次函数、二次函数、正方比例函数等，我们会在另外的课程仔细讲解。
三、α在搞怪：
影响幂函数图像的走向和形状的重要因素实际上是α，下面我们把搞怪的α分分类，分成正数、负数和零3类，分别好好说说。
（1）、举例：f(x)=x、f(x)=x2/3、f(x)=x3/2、f(x)=x1/3、f(x)=x3的如下图的图像：（←点击链接←，还可在此基础上随意调整函数图像）
从上面5个个例观察，当α>0时，幂函数y=xα的图像的有一些共性的东西被呈现出来：
①比如说，这些幂函数图像都一定会经过点坐标点（1,1）、(0,0）；
②再比如说：这些幂函数图像在[0,+∞)区间内都是上升的，或者说，这些幂函数图像在第一象限都是上升的；
除此之外，我们还可以进一步讨论这些幂函数图像上升的规律是怎么的，
③比如说：当α>1时，这些幂函数图像不但上升，而且上升的速度逐渐加大的；
④而当α=1时，幂函数图像是匀速上升的，表现出来的就是导数求出来是一个常数；
⑤当0<α<1时，尽管整个幂函数图像总体还是上升的，但上升的速度在逐渐减小，最后趋近于0。
（2）、举例：f(x)=x-1、f(x)=x-(1/2)、f(x)=x-2、f(x)=x-(1/3)、f(x)=x-3的如下图的图像：（←点击链接←，还可在此基础上随意调整函数图像）
那么，我们发现：当α<0时，幂函数y=xα的图像有下面一些特点：
①比如说，这些幂函数图像都通过点（1,1）；
②这些幂函数图像在区间（0，+∞）是逐渐递减的；
③这些幂函数图像在第一象限都能以两条坐标轴作为渐近线。当自变量趋近0，函数值趋近+∞；当自变量趋近+∞，函数值趋近0。
（三）、当α=0时，幂函数y=xa的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。注意：它的图像不是直线。(x=0时，函数值没意义）。点击查看图像。
未完待续... ...
